Intégrale de \( \sec^3 x \)

Dérivation et évaluation

La méthode de l'intégration par parties est utilisée pour trouver l'intégrale :

\[ \int \sec^3 x \, dx \]

La formule d'intégration par parties s'exprime comme suit :

\[ \int u' v \, dx = uv - \int u v' \, dx \]

Posons \( v = \sec x \) et \( u' = \sec^2 x \) ; par conséquent \( u = \displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x \) et \( v' = \sec x \tan x \). En appliquant ceci :

\[ \begin{aligned} \int \sec^3 x \, dx &= \int \sec^2 x \cdot \sec x \, dx \\[6pt] &= \tan x \sec x - \int \tan x \sec x \cdot \tan x \, dx \\[6pt] &= \tan x \sec x - \int \tan^2 x \sec x \, dx \qquad (I) \end{aligned} \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) pour réécrire l'intégrale :

\[ \begin{aligned} \int \tan^2 x \sec x \, dx &= \int (\sec^2 x - 1)\sec x \, dx \\[6pt] &= \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx \end{aligned} \]

Substituons cela de nouveau dans l'équation (I) :

\[ \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x - \left( \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx \right) \] \[ \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x \, dx \]

Ajoutons \( \displaystyle \int \sec^3 x \, dx \) aux deux côtés de l'équation et simplifions :

\[ 2 \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x + \int \sec x \, dx \]

Utilisez la formule d'intégrale standard \( \displaystyle \int \sec x \, dx = \ln|\tan x + \sec x| \) :

\[ 2 \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x + \ln|\tan x + \sec x| \]

En divisant tous les termes par \( 2 \) et en ajoutant la constante d'intégration \( c \), nous obtenons la réponse finale :